O mnie i o tym, jak widzę świat. Słowem, nihil novi w blogosferze
Blog > Komentarze do wpisu

Jak obliczyć pierwiastek bez kalkulatora?

Słowo się rzekło, kobyłka u płota. Obiecałem i postanowiłem, że to właśnie dziś obietnicę zrealizuję. No to dzieła. Poniżej w kilku krokach i kilku obrazkach wyjaśnię, jak się oblicza pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby za pomocą kartki papieru i ołówka (ewentualnie długopisu, ale ja wolę ołówek).
Ja do przykładowych obliczeń przyjąłem liczbę: 3742965,530638


1. Liczbę, której pierwiastek chcemy obliczyć musimy najpierw podzielić na grupy po dwie cyfry. Zaczynamy od przecinka i przesuwamy się najpierw w lewo, a potem w prawo, jeśli są jakieś cyfry po przecinku. Jeśli po tym podziale zostanie nam na prawo od przecinka jakaś samotna cyfra, to możemy dopisać jej do towarzystwa zero. Liczba po podziale na grupy wygląda tak:

 

 

2. W kolejnym kroku należy znaleźć największą liczbę z zakresu 1-9 0-9, której kwadrat jest mniejszy nie większy od pierwszej z lewej strony grupy cyfr. W naszym przypadku szukamy największej liczby, której kwadrat jest nie większy niż "3". Tą liczbą jest 1. Znalezioną w ten sposób liczbę zapisujemy jako pierwszą cyfrę wyniku pierwiastkowania. Jej kwadrat odejmujemy od pierwszej grupy cyfra, a do wyniku odejmowania dopisujemy kolejną grupę. Wygląda to więc tak:

 

 

3. Dalszy ciąg obliczeń polega na powtarzaniu tych samych kroków.
Zaczynamy od pomnożenia uzyskanego dotąd wyniku przez 2. W naszym przypadku 2x1 = 2. Teraz proszę o skupienie. Kolejnym krokiem jest znalezienie takiej największej liczby z zakresu 1-9, która wstawiona w żółte pola na poniższym obrazku spełni zapisaną nierówność. Próbując opisać to słowami: musimy nasz podwojony wynik najpierw pomnożyć przez 10, potem dodać do niego liczbę z zakresu od 1-9, a następnie uzyskaną sumę jeszcze przez tę dodaną liczbę przemnożyć. Wynik ma być mniejszy od liczby, którą uzyskaliśmy w wyniku odejmowania i dopisania kolejnej grupy cyfr z pierwiastkowanej liczby, a dodana liczba z zakresu 1-9 ma być największą z możliwych. Mam nadzieję, że poniższy obrazek to dobrze wyjaśnia. Jak widać, nierówność spełnia liczba "9" i to jest kolejna cyfra wyniku naszego pierwiastkowania. Wynik naszych działań, podobnie jak wcześniej, odejmujemy od poprzedniej różnicy powiększonej o dopisaną kolejną grupę cyfr, czyli od 274 odejmujemy 29x9 czyli 261. W wyniku otrzymujemy liczbę 13 i dopisujemy do niej kolejną grupę, czyli "29". W ten sposób uzyskujemy liczbę 1329.

 

 

4. W kolejnym kroku podwajamy dotychczas uzyskany wynik pierwiastkowania. Czyli 2x19 = 38. I powtarzamy manewr z mnożeniem tego wyniku przez 10 i dodawaniem liczby z zakresu 1-9 oraz mnożeniem tak otrzymanej sumy przez dodaną liczbę. Wynik musi być mniejszy od 1329. Można z grubsza oszacować, że 380 mieści się w 1384 1329 nie więcej niż 3 razy. Dla pewności sprawdzimy, czy liczba 4 będzie odpowiednia: 384x4 = 1536 > 1384 1329. Za dużo. Przyjmujemy liczbę o jeden mniejszą: 383x3 = 1149 < 1384 1329. Bingo! Kolejną cyfrą naszego wyniku jest "3". Po wykonaniu działania 1384 1329-1149 otrzymujemy wyniku 180 i do tej liczby dopisujemy kolejną grupę cyfr, czyli "65". Otrzymujemy w ten sposób 18065. Ten fragment działań mamy zobrazowany poniżej (dorysowałem kilka strzałek, żeby pokazać, co się skąd wzięło):



 

5. Kolejne kroki są takie jak opisane w punkcie 4. Pokaże następny krok na kolejnym obrazku (już bez opisu, ale będą za to strzałki).

 



Jak widać kolejną cyfrą wyniku jest "4". Po tej cyfrze wstawiamy przecinek, bo następna dopisywana grupa cyfr jest już po przecinku.

Dalszych kroków nie będę przedstawiał. Pokaże tylko ostatni, który sam wykonałem wykonując obliczenia na potrzeby tej notki. Tym razem bez strzałek i wyjaśnień.

 

Kiedy skończą nam się grupy cyfr, dopisujemy zera. I możemy sobie liczyć, liczyć, liczyć aż nam się znudzi, albo zabraknie miejsca na kartce.

 

Mam nadzieję, że algorytm jest przejrzyście opisany. Ale jeśli nie, to mogę go ewentualnie jeszcze uzupełnić jakimiś dodatkowymi wyjaśnieniami.
czwartek, 31 maja 2007, roman_j
Jak obliczyć pierwiastek bez kalkulatora? roman j algorytm pierwiastek
TrackBack
TrackBack URL wpisu:
Komentarze
2007/06/01 10:32:50
Moj tata tez lubi takie rozrywki , gdy byl informatykiem w PAN , nauczyl mnie w wieku kilku lat liczyc w systemie dwojkowym ( to bylo potrzebne w przypadku owczesnych komputerow , teraz " z muzemu techniki " ), ale ja sie tym juz od dawna nie zajmuje , pozdrawiam :)
-
2007/06/01 11:37:07
Dobra, przyznam się. Nie przeczytałam. Ale wykresiki i strzałeczki wyglądaja bardzo profesjonalnie, chociaż nie są pozbawione czaru. I te schodki z cyferek :)
Bardzo, bardzo mi się podoba. Przemawia do mnie estetyka tego wpisu!
-
2007/06/01 12:17:03
Ło matko! Ale masz zacięcie! Labę sobie zrobiłam i nic nie rozumiem, zresztą antytalencie matematyczne ze mnie! Za to pięknie pozdrawiam z Pomorza, ale nad jeziorem!
-
2007/06/01 12:43:12
To ja się może z tym zapoznam na spokojnie w domu... Bo jakoś poczułam się przygnieciona wiedzą:)
-
2007/06/01 15:00:08
@Sad.a.5: --> Ja też się kiedyś bawiłem różnymi systemami liczbowymi. Nie tylko dwójkowym. Ale nie opanowałem nigdy np. działań poza dodawaniem. Ale chyba pobawię się w odkrycie zasad rządzących np. dzieleniem liczb w systemie dwójkowym. :)

@Aaabsolutnie_kupie: --> Wiesz, mnie się też te obrazki i strzałki podobają. Trochę to takie narcystyczne uczucie, ale odrobina narcyzmu na wiosnę nie zaszkodzi. ;)

@Fusilla: --> Dzięki za pozdrowienia. Ja nadal nad Wisłą. Przynajmniej do początku lipca. A co do zacięcia, to jedni rozwiązują krzyżówki, inni jolki, jeszcze inni sudoku, kakuro, itp. a ja lubię sobie czasem oprócz tego wszystkiego obliczyć jakiś pierwiastek. Dziwna, ale nawet przyjemna rozrywka. :)

@Daria_nowak: --> Najlepiej zrób sobie w wolnej chwili ten sam przykład. O ile znajdziesz w sobie do tego chęć. :)
-
2007/06/01 16:12:36
Uczyłam się tego kiedyś w technikum - mielismy nawiedzoną matematyczkę. Nauczyła nas (oprócz systemu dwójkowego) też liczyć na liczydle i mnożyć na palcach.
Teraz, gdyby nagle szlag trafił prąd i baterie - bylibyśmy bezradni.
A swoją drogą - nic z tych rzeczy nigdy nie przydało mi się w życiu, oprócz mnożenia na palcach (nauczyłam dzieciaki, jak nie mogły opanować tabliczki mnożenia).
Pozdrawiam!
-
2007/06/01 18:27:49
Załamałam się! Zobaczyłam Twój wpis rano, ale ponieważ był długi, tylko zerknęłam, obiecując sobie po powrocie z pracy uważnie przeczytać. Wróciłam. Zaczęłam lekturę. Pierwszy akapit pojęłam.
Przy słowach: Teraz proszę o skupienie. Kolejnym krokiem jest (punkt 3) mnie zupełnie zablokowało. Zjechałam niżej, by zobaczyć resztę i już zupełnie wysiadłam. Poddałam się. Nawet nie wiem, czy mi wstyd. Nie wiem równiez po co mi mają być w codziennym życiu potrzebne pierwiastki.
Innymi słowy załamałam się na dwa różne sposoby. Ratunku!
-
2007/06/01 19:42:00
Chcieć chcę, ale trochę mnie to przeraża:)
-
2007/06/01 20:46:56
@Rest5: --> Ten matematyk, który mnie tego nauczył, też był pasjonatem. Podobno na klasówkach każdy uczeń dostawał inne zadanie. Niestety, nie miałem okazji tego sprawdzić, bo uczył mnie on tylko przez dwa lub trzy tygodnie, bo potem odszedł na emeryturę. Trochę żałuję, że nie uczył mnie przez całe 4 lata. :)

@Auel: Wstydzić się nie ma czego. Zagadnienie nie jest trywialne, a do tego jeszcze mogłem je objaśnić wyłącznie za pomocą słowa pisanego i gotowych obrazków. A że pierwiastki prawdopodobnie rzadko są Ci potrzebne w życiu, możesz z czystym sumieniem potraktować ten wpis jako ciekawostkę. :)

@Daria_nowak: Chcieć to móc. Podobno. ;)
-
2007/06/02 08:33:26
Proszę, wyjaśnij mi łopatologicznie, do czego można wykorzystać pierwiastki. Coś w stylu - odejmowanie: oddzielanie ziarna od plew, dobrych od złych; dzielenie: dawanie każdemu po równo; mnożenie: zastępuje wielokrotne dodawanie tego samego.
-
2007/06/03 13:50:00
@Auel: Podam przykład drastyczny (zresztą pisałem o tym już chyba gdzieś w komentarzach). W czasie majówki byliśmy w MRU, gdzie m.in. opowiedziano nam o kilku ofiarach śmiertelnych wśród odwiedzających samodzielnie bunkry. Jednym z nim był 14-latek, który spadł z 30 m do niezabezpieczonego szybu. Kilka dni później w środku lasu zostałem zapytany przez młodego współtowarzysza wyprawy, ile czasu leciał ten chłopak z tych 30 metrów. Dzieci czasem zadają takie trudne pytania. Jak wiadomo, swobodny spadek to ruch jednostajnie przyspieszony (pomijając dla uproszczenia opór powietrza), a więc opisany równaniem kwadratowym. Żeby wyliczyć czas, trzeba użyć pierwiastka. Wyliczyłem w pamięci do dwóch miejsc po przecinku. Wniosek: pierwiastek może służyć do odpowiadania dzieciom na trudne pytania. ;)
A przy okazji Twojego pytania postanowiłem się poważnie zastanowić, w jakich sytuacjach w codziennym życiu człowieka może się przydać pierwiastek. Zadam też to pytanie znajomym. Jak jakąś sytuację znajdę, wtedy napiszę o tym w osobnej notce. :)
-
2007/06/04 12:38:16
Piękne dzięki. Przede wszystkim za dotrzymanie słowa :)
Zabieram się do analizy algorytmu.
-
2007/06/04 16:07:33
@Marzatela: A proszę bardzo. Mam nadzieję, że wyjaśniłem przystępnie. :)
-
2007/06/04 19:31:06
Tak, algorytm jest dla mnie jasny. Teraz zastanawiam się tylko nad zasadą - z czego to wynika - czyli cos w rodzaju analizy matematyczno-logicznej.
Nie znałam tego wcześniej i dlatego jest to dla mnie fajną ciekawostką.
Pozdrawiam serdecznie i jeszcze raz dziękuję.
A pierwiastki przydadzą się nam do liczenia głosów w UE. Premier ostatnio zapowiedział, ze nie zrezygnujemy z systemu pierwiastkowego :)
-
2007/06/05 12:50:33
@Marzatela: To jest podobno algorytm oparty na wzorach skróconego mnożenia. Tak mi kiedyś powiedziano. Próbowałem to niedawno pod tym kątem przeanalizować i nawet jakieś wnioski wysnułem, ale... zapomniałem. :) Wszystko dlatego, że myślałem o tym gdzieś idąc, a po dojściu do celu głowę miałem już zajętą zupełnie czymś innym. :)
Co do zastosowania, to ciekawy przykład, ale raczej chodzi o jeszcze bardziej przyziemne. My na co dzień raczej tych pierwiastków z liczby mieszkańców liczyć nie będziemy. Będą się tym zajmować politycy. :)
-
2007/06/09 19:24:08
TrackBack mówi, ze dostęp do Twego bloga jest zastrzeżony, więc muszę w ten sposób poinformować Cię, że w komentarzach do mojej notki andsol.blox.pl/2007/06/Dzielenie-przez-zero.html
pojawiła się wymiana uwag (z Marzatelą) o Twoich obliczeniach...
-
2007/06/10 12:42:45
@Andsol-br: Trakcback w moim blogu nie jest ani zastrzeżony ani moderowany. :)
-
2007/10/29 12:26:04
metoda iteracyjna jest lepsza.... choć mniej dokładna :)
-
Gość: on, host-89-228-41-59.elk.mm.pl
2007/10/29 13:38:40
Dobry sposób na liczenie ^0,5 ale nie w XXI wieku, gdzie można używać kalkulatorów. Można także napisać sposób na liczenie pierwiastków stopnia 3, 4 oraz wyższych. Kiedyś bawiłem się w takie rzeczy, a teraz szkoda dla mnie jest czasu na to. Życie za krótkie jest...
-
2007/10/29 17:33:27
@On: W XXI wieku to już nawet wstyd kalkulatora używać. Lepiej od razu komputer. :)
Ale im częściej używany takich usprawniaczy życia, tym rzadziej używamy... mózgu. A to jest szansa na to, żeby sobie ten narząd trochę pogimnastykować. :)
Dla stopni będących wielokrotnością 2 można po prostu wielokrotnie zastosować ten algorytm. Ale na przykład dla 3 stopnia chętnie bym taki algorytm poznał. Ale nie iteracyjny. :)
-
Gość: , viruswall-sl.wbn.wien.at
2008/01/08 09:16:49
ja tez taraz sie ucze i to jest bardzo cierzkie
-
Gość: Daniel, aczd121.neoplus.adsl.tpnet.pl
2008/07/31 22:42:54
Wszystko spoko. Jest jedyny problem, bo skoro chcemy obliczyc pierwiastek kwadratowy (square root) bez użycia kalkulatora to liczby drastycznie powiększające się przy spisywaniu kolejnych par mogą stanowić problem szczególnie dla liczb niewymiernych np. pierwiastek z 2 = ?
-
2008/08/01 09:07:13
@Daniel: Jedyny problem, jaki ja widzę, to potencjalny brak miejsca na wykonanie działań. Wyciągałem w ten sposób pierwiastek z liczby 2 i doszedłem do większej liczby miejsc po przecinku niż pokazuje przeciętny kalkulator. Komplikacji obliczeniowych przy dużych liczbach nie widzę, bo do wykonania są proste działania: podwojenie dotychczasowego wyniku (a w każdym kolejnym kroku zmienia się tylko końcówka tak otrzymanej liczby), pomnożenie podwojonego wyniku przez jednocyfrową liczbę oraz odjęcie od siebie dwóch liczb. Wydaje mi się, że nie są to duże komplikacje. Więcej pracy wymaga okresowe sprawdzenie wyniku, jeśli ktoś chce się o to pokusić, bo wtedy dochodzi mnożenie przez siebie coraz większych liczb. :)
-
Gość: dziewczyna, 83.2.133.13*
2008/09/11 21:43:40
czarna magia, dziwne małe znaczki ustawione w schodki domki i górki czerwone ogonki łoł... wielki ukłon w stronę ludzi którzy potrafią szyfrować dla mnie to abstrakcja
-
2008/09/14 21:16:04
@Dziewczyna: To jest naprawdę proste. Trzeba tylko poświęcić nieco czasu i odrobinę wysiłku, żeby to opanować. :)
-
Gość: e_aster, nat-229-233.infinity.net.pl
2008/09/20 20:35:22
"2. W kolejnym kroku należy znaleźć największą liczbę z zakresu 1-9, której kwadrat jest mniejszy od pierwszej z lewej strony grupy cyfr." -
Czy na pewno kwadrat tej znalezionej liczby musi być mniejszy - czy nie może być równy - tej pierwszej z lewej strony grupie cyfr ?
-
2008/09/20 23:00:26
@E_aster: Może być równy. :)
-
Gość: e_aster, nat-229-233.infinity.net.pl
2008/09/21 21:53:09
No cóż, muszę się chyba jeszcze do czegoś przyczepić :-) :
wziąłem "na warsztat" tak na chybił-trafił liczbę 6450. Kalkulator (jednak trudno sobie odmówić użycia go :-) ) pokazał w wyniku 80,311892. A więc jako druga cyfra występuje tu zero. Nie bardzo to "rychtuje" z tym stwierdzeniem, że - cytuję: "(...)należy znaleźć największą liczbę z zakresu 1-9, której kwadrat(...)".
Musimy jakoś "rozbieric" ten przypadek; wydaje się on "wymykać" z tych ogólnych zasad, prawda ?
-
2008/09/22 08:33:03
@E_aster: Przypadek nie jest szczególny. Raczej opis metody niedokładny. Jeśli nie możemy znaleźć liczby z zakresu 1-9 to oznacza, że musimy przyjąć "0". W tym wypadku pierwszy krok wygląda tak, że pierwszą liczbą jest 8, bo 8^2 to największa liczba mniejsza lub równa od pierwszej rozważanej grupy cyfr (czyli 64). Po działaniu: 64-8^2 otrzymujemy zero, czyli do dalszych działań bierzemy liczbę 50 (druga grupa cyfr). Szukamy w tym kroku największej liczby X, która spełnia warunek, że 50-16X*X =0. Ten warunek spełnia tylko 0. W kolejnym kroku do 50 dopisujemy dwa zera i szukamy największej liczby X spełniającej warunek: 5000-160X*X =0. Ten warunek spełnia 3, co daje: 5000-1603*3=5000-4809=191. W kolejnym kroku szukamy liczby spełniającej warunek: 19100-1606X*X =0, który spełnia tylko liczba 1. I tak dalej...
BTW: ja nie używam w tej metodzie w ogóle kalkulatora, bo do wykonania są elementarne działania: proste mnożenie i odejmowanie, a to można zrobić ręcznie. Zresztą z każdym krokiem rośnie długość liczb, na których trzeba działać i od pewnego etapu kalkulator okazuje się bezużyteczny. :)
Zaraz poprawię opis metody i usunę obie wskazane nieścisłości wywodu. :)
-
2008/09/22 08:38:54
@E_aster: Cholera, Blox inteligentnie wyciął mi znaki i zamiast "większe lub równe" wyszło "równe". Ale mam nadzieję, że po tym komentarzu, który teraz piszę, mój wcześniejszy wywód da się właściwie zinterpretować. Tam, gdzie przy znaku równości z lewej strony jest spacja, tam zniknął znak. :)
-
Gość: e_aster, nat-229-233.infinity.net.pl
2008/09/22 23:57:12
O.K. - chyba teraz to już wszystko gra. Dzięki za sposób. Ogólnie jest bardzo dobrze wytłumaczony. Takich właśnie wyjaśnień, opisów oczekiwałbym w przypadku każdego chyba pytania jakie mam do zadania. Tymczasem wszędzie można spotkać mnóstwo odpowiedzi i definicji, które są łatwe do zrozumienia, dla kogoś, kto już wcześniej temat rozumiał, znał :-) .
Owszem, można dać sobie radę bez kalkulatora; jednak ze względu na to, że nie łatwo jest mi ustrzec się pomyłek, lubię go mieć pod ręką - choćby dla sprawdzania działań wykonywanych "na piechotę". Pozdrawiam serdecznie.
-
2008/09/23 07:52:50
@E_aster: Również pozdrawiam. :)
-
Gość: e_aster, nat-229-233.infinity.net.pl
2008/09/23 21:15:46
Myślę, że nie od rzeczy by było umieścić taką instrukcję na wikipedii .
-
2008/09/23 23:01:49
@E_aster: Jak ktoś potrzebuje, to tutaj też trafi. Ja w każdym razie z moim opisem się do Wikipedii nie zamierzam pchać. Nie wiem nawet, w jakim to miałoby być haśle. :)
-
2008/09/28 13:36:22
Tym razem nie zgodzę się z Tobą. Czemu to kręcenie nosem na Wikipedię? Jest tam wiele cennych rzeczy właśnie dlatego, że kompetentni ludzie wstawili tam przemyślane i dobrze napisane artykuły.

Gdzie to umieścić? Po angielsku maja wiele powiązanych z tematem algorytmów i wstawiają do en.wikipedia.org/wiki/Category:Root-finding_algorithms . Po polsku może do pl.wikipedia.org/wiki/Kategoria:Algorytmika ?

-
2008/09/28 13:38:22
A powiązanie z macierzą zachowasz wstawiając adres swego artykułu blogowego jako oryginalne odniesienie - uważam, że to jest w pełni uczciwe, bo zawiera historię współpracy czytelników i jest to niebanalną wartością.
-
2008/09/28 14:55:06
@Andsol: Kręcenie nosem wynika w głównej mierze z lenistwa. Zakładam, że artykuł w Wikipedii musiałbym napisać od nowa inaczej, bo jednak encyklopedia, nawet taka otwarta, stawia większe wymagania wobec autorów artykułów niż blog. Już przy tej notce się napociłem, a myśl o powtórce jakoś mnie odstręcza. Ale skoro już przynajmniej wiem, gdzie by to można wstawić, to nie napiszę, że nie. Napiszę, że niewykluczone. :)
-
Gość: e_aster, nat-229-233.infinity.net.pl
2008/10/01 23:22:17
Ja ze swej strony chciałbym Cię jeszcze zdopingować argumentując, że w razie - odpukać! - jakiegoś wielkiego "bum!", takiego po którym po komputerach zostały by wspomnienia, znajomość zasad wykonywania różnych obliczeń matematycznych "na piechotę" mogła by się okazać bardzo cenna. Umieszczanie na Wikipedii takich sposobów zapewne zwiększa prawdopodobieństwo, że większa liczba ludzi nauczy się tych reguł, ponieważ ten kto już poznał Wikipedię, prawdopodobnie od niej właśnie będzie zaczynał poszukiwania informacji tego typu.
"Kręcenie nosem wynika w głównej mierze z lenistwa" - skąd my to znamy? :-)
Myślę jednak, że skoro już raz przeszedłeś podobną ścieżką (tj. zamieściłeś ten opis na tym forum), zrobienie tego drugiego kroku ma szansę być łatwiejsze. W razie trudności, może apel o pomoc w ich pokonaniu skierowany do internautów, zwłaszcza tych, którzy komentowali to Twoje dzieło, poskutkował by otrzymaniem podpowiedzi jak to zrobić. Ja osobiście raczej nie mam doświadczenia w redagowaniu Wikipedii, przynajmniej nie na tyle by czuć się ekspertem, ale zapewne wiele osób to potrafi. Zachęcam więc i pozdrawiam. Życzę sukcesu.
Zenek T.
-
Gość: Mati, eeh116.neoplus.adsl.tpnet.pl
2008/10/09 18:40:29
łatwe i przyjemne. jestem w 6 klasie i bez problemu załapałem
-
Gość: , 77-253-165-83.adsl.inetia.pl
2009/03/20 17:29:07
Fajne, ale te strzałeczki wcale nie wyglądają profesjonalnie...:)
-
2009/03/21 21:30:34
@[IP: 77-253-165-83.adsl.inetia.pl]: I bardzo dobrze. One wcale nie miały wyglądać profesjonalnie. :)
-
Gość: piotrek1593, bnb125.neoplus.adsl.tpnet.pl
2009/05/03 23:56:55
Fajne ale jak obliczałem liczbe 58943,09213 to po odjęciu od 389 359 no i dodaniu kolejnych 2 cyfr dało mi 543 a że mam 228 to jak skoro musze 2*28 to jak 56 pomnorze przez nawet 1 to itak mam 56_*_ 543 czyli sie nieda (wiem że pisze zawile ale inaczej nie umiem ) prosze o sprawdzenie i wytłumaczenie mi no bo nie kumam
-
2009/05/04 07:39:23
@piotrek1593: Taka sytuacja oznacza, że trzeba przyjąć 0 (zero). Natomiast jest chyba jakiś błąd w tych obliczeniach, bo mnie w pierwszym kroku wyszła liczba 2 (to jest największa liczba, której kwadrat jest mniejszy niż 5 - 2^2=4 44*4=176 1343. Na tym etapie w wyniku miałem cyfry: 242 i to jest wartość całkowitej część pierwiastka. Następne znajdowane liczby będą już wpisywane po przecinku. Podpowiem, że pierwszą z nich jest 7. :) Mam nadzieję, że trochę rozjaśniłem sprawę. :)
-
Gość: edek47, 220-253-7-210.vic.netspace.net.au
2009/05/04 14:36:10
Tego SPOSOBU OBLICZANIA PIERWIASTKOW stopnia drugiego ZA STALINA uczono jeszcze w szkole podstawowej ,a w szkole sredniej stopnia trzeciego,bo jest troche bardziej skompllikowany.PIERWIASTKOW wyzszych stopni tym sposobem raczej bym nie radzil oblczac, bo mozna sie zanudzic na smierc.Ten 'wynalazek matematyczny' byl juz powszechnie stosowany w XlX w. w Niemczech.Najlatwiejszy jednak sposob obiczania pierwiastkow dowolnego stopnia jest przy pomocy rozniczek (PODANY w ksiazce'Calculus' Jamesa'a Stewart'a). To tyle na ten temat
-
2009/05/04 14:55:31
@Edek47: Jak dla mnie, to mogli tego uczyć i za Hitlera we freblówce. Nikogo do korzystanie z mojej notki i z podanej metody nie zmuszam. Podobnie do pisania komentarzy. Zwłaszcza, jeśli służą one temu, żeby wybrzydzać. :)
-
Gość: edek47, 220-253-7-210.vic.netspace.net.au
2009/05/04 19:05:52
Nie moja iintencja bylo krytykowanie tej metody i tego, ze podalles ja w internecie.Wyrazilem tylko to,co na ten temat wiem,bo swego czasu interesowalem sie tymi problemami i zagadnieniami matematycznymi, a ze to zle zostalo zrozumiane, to przepraszam. Ta metoda arytmetyczno- algebraiczna i kilka podobnych zostalo CALKOWICIE ZAPOMNIANYCH,tak sie dzieje w matematyce, np.obecnie powszechnie znana METODA NEWTONA tez zostala odkurzona prawie po ponad dwustu latach, spowodowaly to wynalazki kalkulatorow ,a nastepnie komputerow.Pozdrowienia.
-
Gość: DiXi, v98f0.v.pppool.de
2009/09/10 20:22:42
No Genialne zajęcie na nudne lekcje, kiedy nie ma nauczyciela (lub jest jakiś nudny temat z matmy xD) xDxDxD WIELKIE DZIĘKI bo już nie miałem co robić xD
-
2009/09/11 21:19:32
@DiXi: Ja też to często traktuję jako rozrywkę, kiedy nie mam pod ręką np. krzyżówki. :)
-
Gość: , aarj128.neoplus.adsl.tpnet.pl
2009/09/18 00:53:43
brawa dla tego pana, oby wiecej takich artykulow :)
-
Gość: Pyku, nat-84.ghnet.pl
2009/10/14 22:11:04
Świetny algorytm! W dodatku przyda mi się na zajęcia - do zaimplementowania w języku programowania. Jestem zachwycony.
-
Gość: PiNkOs, 86-63-90-43.sta.asta-net.com.pl
2009/11/05 19:16:11
Mam pytanie, jak obliczyć za pomoca tego sposobu pierwiastek z 5?

Jak mi się liczby kończyły to dopisywałem dwa zera i głupoty wychodziły :)
-
2009/11/05 23:29:49
@PiNkOs: Pierwiastek z 5 liczymy tak:
5=2,236
4 ------- czyli 2 do kwadratu
100
 -84 -------- 2*2=4 dopisujemy 2 i mnożymy przez 2 - wynik to 84
  1600
 -1329 ---------2*22=44 dopisujemy 3 i mnożymy przez 3 - wynik to 1329
    27100
   -26796 ---------2*223=446 dopisujemy 6 i mnożymy przez 6 - wynik to 26796
        30400

Dalsze kroki proponuję wykonać samemu. Na razie wychodzi dobrze, bo 2,236*2,236 = 4,999696 czyli bardzo blisko 5, ale mniej (powinno wyjść z niedomiarem; nadmiar oznacza błąd).
-
Gość: , ip-89.171.225.59.dsl.crowley.pl
2010/01/03 19:18:01
TABALUGA
-
Gość: nameless, chello089076159216.chello.pl
2010/02/02 19:19:24
niedawno kupiłem na allegro bardzo interesującą książkę pt. "encyklopedia szkolna: matematyka", znajduje się tam formuła na wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego, fantastyczna sprawa, pamiętam, że niejednokrotnie się zastanawiałem skąd biorą się liczby wypluwane przez ekran kalkulatora, teraz, wiem jak to zrobić... ale, jak wyciągnąć pierwiastek wyższego rzędu : D np. 3? czy formuła jest taka sama? jeśli wiesz, to proszę o odpowiedź w tej sprawie na hentajboy@wp.pl
-
2010/02/02 20:22:56
@Nameless: To, co się pojawia na ekranie kalkulatora, prawie na pewno obliczane jest inaczej. Choćby ze względu na to, że operacje są wykonywane na bitach i w systemie dwójkowym.
Algorytm na liczenie pierwiastka 3-go stopnia widziałem. Teraz poszukałem trochę w Sieci i znalazłem tutaj (po angielsku): en.wikipedia.org/wiki/Shifting_nth-root_algorithm#Paper-and-pencil_nth_roots :)
-
Gość: Bezimienna, aqj142.neoplus.adsl.tpnet.pl
2010/03/08 20:16:21
Cóż, muszę przyznać, iż wytłumaczyłeś to niezwykle, moim zdaniem, profesjonalnie. Tak to przynajmniej wygląda- znawczynią nie jestem. Trochę do zagmatwane, przyznam się, iż dalej nie potrafię pierwiastka obliczyć, jednakże sądzę, iż dzięki Twoim wytłumaczeniom da się to pojąć, z przynajmniej pojąć będą potrafiły osoby choć trochę bardziej rozgarnięte niż ja;-). W imieniu tamtych dziękuję;-D. Chciałam zapytać- jest jakiś łatwiejszy sposób? Cóż... na poziomie szkoły podstawowej? Z góry dziękuję za odpowiedź;-).
-
2010/03/09 14:18:52
@Bezimienna: Nie wiem, czy jest jakiś łatwiejszy sposób, poza kalkulatorem. Wiem tylko, że nie jest to jedyny algorytm, z którego można skorzystać, ale czy te pozostałe są łatwiejsze, czy trudniejsze, tego nie wiem. Ten mi wystarcza, nie testowałem innych. :)
-
Gość: Bezimienna, aqd64.neoplus.adsl.tpnet.pl
2010/03/09 15:21:45
W takim razie dziękuję;-). Ach, co do kalkulatora- nienawidzę tegoż wynalazku. I ludzie się dziwią, iż młodzieży całkowicie brak umiejętności i wyobraźni... Tak, po co one? Mamy kalkulatory. Szkoda słów. Będę szukać dalej, może znajdę coś łatwiejszego^^". Jeszcze raz dziękuję za chociażby chęć odpowiedzi.
-
Gość: Julian, 87-205-218-12.adsl.inetia.pl
2010/05/12 13:41:35
Powyższy algorytm nie działa przynajmniej dla liczby 1 23 21, której pierwiastkiem jest liczba 111.
-
2010/05/12 16:14:57
@Julian: Szkoda, że zanim napisałeś swój komentarz, nie przyszło Ci do głowy, żeby sprawdzić, czy na pewno właściwie się posługujesz tym algorytmem i czy nie popełniasz gdzieś błędu w obliczeniach. Ten algorytm nie może nie zadziałać w przypadku jakiejś liczby. Jeśli otrzymujesz błędne wyniki, to znaczy, że popełniasz gdzieś błąd.
-
Gość: Domiss, dynamic-78-8-232-225.ssp.dialog.net.pl
2010/07/10 23:13:09
Fajnie opisana metoda. Ja widziałem jej opis po raz pierwszy w książce Marka Szurka "Opowieście matematyczne". Strzałki są jak najbardziej profesjonalne (bardziej profesjonalne można zrobić tylko kredą na profesjonalnej, akademickiej tablicy ;), nieprofesjonalnie wyglądają te idealnie równe rzędy cyfr i bezbłędne obliczenia bez skreśleń ;P.
Wspominany w którymś z komentarzy algorytm Newtona nie jest już używany - jest zbyt wolny i zawodny w porównaniu z metodą bisekcji, w dodatku nie daje aż takiej kontroli błędu aktualnego przybliżenia wyniku.
Inny sposób na znalezienie pierwiastka, to metoda zgadywania (profesjonalnie nazywana właśnie metodą bisekcji). Powiedzmy, że chcemy policzyć pierwiastek z 5. Wiemy, że 2 to za mało, 3 to za dużo. Sprawdzamy średnią arytmetyczną z dolnego i górnego ograniczenia, czyli 2.5: 2.5^2=6.25 za dużo, czyli 2 to za mało, 2.5 za dużo. Sprawdzamy 2.25: 2.25^2=5.0625 za dużo, czyli 2 to za mało, 2.25 za dużo.
Sprawdzamy 2.125: 2.125^2=4.515625 za mało, czyli 2.125 to za mało, 2.25 za dużo. Sprawdzamy 2.1875^2=4.7851562 za mało... itd. aktualny wynik to środek przedziału (czyli kolejna liczba do sprawdzenia), a ograniczenie błędu to połowa długości przedziału. Metoda wygląda na wolniejszą w porównaniu z przedstawioną w tym blogu, choć jest ogólniejsza (można nią wyliczać również pierwiastki wyższych stopni, wtedy zamiast do kwadratu podnosilibyśmy aktualnie podejrzaną liczbę do odpowiedniej, wyższej potęgi).
Jeszcze inną metodą byłoby rozwinięcie funkcji pierwiastek w szereg Taylora-Maclaurina, ale to jest trochę zbyt skomplikowane jak dla policzenia "zwykłego pierwiastka".
-
Gość: Blq, chello089076202131.chello.pl
2010/10/17 16:57:50
Świetny sposób, takie rzeczy powinni pokazywać na matmie w szkole a nie wciągle tylko tak samo rozwiązywać prawie takie same zadania. Właśnie przez to ludzie uważają, że matematyka jest nudna - w szkole ją zabijają! Dzięki takim ludziom jak Ty mozna znaleźć coś nowego i ciekawego ;) Pewnie w szkole mi się nie przyda, ale poza szkołą na pewno będzie użyteczne. Wielkie dzięki!
-
2010/10/18 08:46:33
@Blg: Nic nie stoi na przeszkodzie, żeby to pokazywać na lekcjach matematyki. Wszystko w rękach nauczycieli. :)
-
Gość: Blq, chello089076202131.chello.pl
2010/10/21 20:38:19
To ja proszę o innych nauczycieli ;)
Znasz jeszcze jakieś "ciekawostki" tego typu? :P
Od teraz zamiast liczyć pole powierzchni bocznej brył po raz n-ty (gdzie n należy do N+ i jest większe niż 100) licze sobie pierwiastki. O wiele ciekawsze, ale miejscochłonne strasznie ;o
-
2010/10/22 16:31:09
@Blq: Nie znam innych tego typy ciekawostek, ale pewnie można gdzieś takie znaleźć. A miejsca to rzeczywiście wraz z kolejnymi krokami coraz więcej zajmuje. Można jednak kupić sobie papier podaniowy i jechać z tym światem. :)
-
Gość: Justyna, 75.red-79-150-155.dynamicip.rima-tde.net
2010/11/16 18:49:37
Wszystko super ale nie mam pojęcia jak obliczyć pierwiastek z takiej liczby
405326 niestety to zero mnie przerasta:) proszę o pokazanie obliczenia na przykładzie tej liczby :)
Pozdrawiam:)
-
2010/11/19 07:52:47
@Justyna: Nie wiem, dlaczego zero miałoby być przeszkodą?
Zaczynamy przecież od 40:

 40|53|26=636,6
-36 ------ 6*6
-----
   453 ------ 123*3=369
  -369
   -----
     8426 ------ 1266*6=7596
    -7596
     -------
        83000 ----- 12726*6=76356

Dalej chyba nie będzie już kłopotów?
-
Gość: onomato, system858917559.mtvk.pl
2010/11/29 10:00:22
Trzeba być idiotą :D Oczywiście w pozytywnym znaczeniu ;) Super artykół troche skomplikowany ale da się ogarnąć :D Szkoda że tak dużo roboty przy tym ;)
-
Gość: Łowca debili, dynamic-78-8-1-203.ssp.dialog.net.pl
2011/07/10 09:43:20
Brawo ROMAN J! Bardzo prosto wyoślone i bez trudu można sobie przypomnieć, czego się uczyło w dawnych latach :-). Wszelako patrząc na większość komentarzy ogarnia mnie przerażenie, jakie nieuctwo panuje współcześnie w szkołach. I jasne staje się, skąd tylu młodych matołów znajduje się dookoła, wszak matematyka uczy abstrakcyjnego myślenia, co jak wiadomo jest podstawowym miernikiem inteligencji...
-
Gość: shnutzer, aefp24.neoplus.adsl.tpnet.pl
2012/01/06 00:58:30
Właśnie tego szukałam, teraz już rozumiem! O, ja głupia niezbyt pomyślałam przy ostatnim zadaniu na próbnym teście gimnazjalnym i zamiast zorientować się, że jest to trójkąt pitagorejski, próbowałam obliczyć to twierdzeniem Pitagorasa korzystając z danych boków. No i wyszedł mi jeden duży pierwiastek. Gdybym znała tę metodę wcześniej, to bym go jakoś obliczyła. No cóż, przynajmniej teraz wiem!

Pozdrawiam i dziękuję za dobre wytłumaczenie.
-
Gość: , host-89-240-240-110.as13285.net
2012/02/06 16:17:57
Witam, ciekawy i wciagajacy artykul. Chcialbym jednak zauwazyc, ze w punkcie 4tym jest 1384 uzyte zamiast 1329 co jest raczej mylace i powoduje ze czytelnik probuje zrozumiec ska sie to wzielo. Co prawda w punkcie 5tym jest juz ok ale mysle ze wypadaloby to skorygowac (co by nabralo to troszke wiecej przejrzystosci co do metody a nie wprowadzalo zamet dla tych bardziej gorliwych i pragnacych zrozumiec wszystko po kolei co sie skad wzielo czytelnikow). Rowniez jesli publikacja ta mialaby zostac zamieszczona na stronach takich jak wikipedia (bo przegladajac szybciorem natknalem sie na te sugestie) to mysle ze to bylby akurat mus w takiej sytuacji. Pozdrawiam
-
2012/02/19 10:51:18
@[IP: host-89-240-240-110.as13285.net]: Dziękuję za informację. Poprawki już naniesione. :)
-
Gość: , ip-195-26-77-61.net-partner.pl
2012/09/26 14:20:25
a jezeli liczba przez ciebie wskazana zaczyna sie np od liczby 6 a nie od 3 jak to przedstawiles , czy mozesz dac przyklad obliczenia pierwiaska
-
2012/09/26 22:42:15
Jeśli liczba zaczynałaby się od cyfry "6" i składała się z nieparzystej liczby cyfr, to pierwszą cyfrą wyniku będzie 2, a od tej szóstki trzeba będzie odjąć 4, czyli 2 do kwadratu. Dalej postępuje się tak, jak to opisałem w notce.
-
Gość: Franz, 213-92-192-58.serv-net.pl
2013/01/07 14:24:39
Nic tylko pochwalić za chęci, zainteresowanie i trud włożony w przekazanie wiedzy innym. Mnie się te strzałeczki podobają :) Co do wykorzystania kalkulatorów, to nie każdy posiada opcje pierwiastkowania, a ta przydaje się choćby w obliczeniach na budowie. Obecnie na wikipedii można znaleźć kilka sposobów "ręcznego" obliczania pierwiastków. Jednakże znaleziony tutaj "wykład" najbardziej przypadł mi do gustu. Muszę się przyznać że w mojej edukacji pominięto ręczne obliczanie pierwiastków nad czym bardzo boleje ale dzisiaj mogę swobodnie podnieść głowę bo braki nadrobiłem, dzięki autorowi oczywiście. Dziękuję Bardzo!
-
2013/01/07 22:24:50
@Franz: Dziękuję za miłe słowa. :)

Page copy protected against web site content infringement by Copyscape





hit counters